Bal peteðindeki matematik sýrlarý

[KelebeK]

Bal peteðinin enteresan mimarisi tarih boyunca insanlarýn ilgisini çekmiþtir. Yan yana altýgenlerden oluþan bu yapý, son derece hassas olup ortalama duvar kalýnlýklarý 0,1 mm'dir. Bu ortalama deðerden sapma ise, en fazla 0,002 mm kadardýr. Peteklerin inþasýnda uyulan geometri kaidelerinin ne derece ideal olduðunu anlayabilmek için, matematikî bir bakýþ açýsýna sahip olmak gerekir.

Daire, belli bir sabit alaný çevreleyen en kýsa kenar uzunluðuna sahip geometrik þekildir. Meselâ alaný 10 cm2 olan kare ve dairenin çevre uzunluklarý karþýlaþtýrýldýðýnda, dairenin çevresinin daha kýsa olduðu görülür. Ancak bal peteðinin inþasýnda durum tam olarak böyle deðildir. Burada bal peteðinin geniþ çerçevesi, eþit ve daha küçük alanlara bölünecektir ve bölme iþleminde en az çevre uzunluðuna sahip þekil kullanýlacaktýr. Çerçeveyi, eþit alanlara sahip küçük daireler þeklindeki peteklere bölmek istersek, yukarýda ifade edildiði gibi en kýsa kenar özelliði saðlanacak, fakat dairelerin kenarlarý arasýnda kalan boþluklar için daha fazla mum harcanmýþ olacaktýr.

Halbuki bu problemi, en kýsa kenar uzunluðu ve en az malzemeyle (mum) çözmek için geometri prensiplerine müracaat ettiðimizde, peteklerin bölünmesinde çokgenlerin kullanýlmasý gerektiði görülecektir. Kenar sayýsý n olan ayný alana sahip çokgenler düþünelim. Bunlarýn içerisinde en kýsa çevre uzunluðuna sahip olaný düzgün n-gendir. Düzgün ile kastedilen, bütün kenarlarý ve iç açýlarý eþit olandýr. Bu tip bir çokgen, her zaman bir dairenin içine çizilebilir ve çokgenin köþeleri çemberin çevresi üzerindedir. Böyle bir yapýnýn ideal daire þekline yakýn olmasýndan dolayý çevre uzunluðu en az olmaktadýr. Meselâ eþit alanlý üçgenler içerisinde en kýsa çevre uzunluðu eþkenar üçgende, dörtgenler arasýnda en kýsa çevre uzunluðu ise karede elde edilir. Benzer þekilde beþgen ve altýgenler kendi aralarýnda kýyaslanýrsa, en kýsa çevre uzunluðu düzgün beþgen ve altýgende elde edilebilir.

Akla gelebilecek ilk soru, belli bir alaný bölerken hangi düzgün çokgeni kullanmamýz gerektiðidir. Bir daire ve içerisine çizilmiþ n kenarlý bir düzgün çokgenin bir kýsmý Þekil 1'de gösterilmiþtir. Þekilden de görülebileceði gibi çokgenin bir iç açýsý 180-360/n derecedir. Verilen bir geniþ alaný küçük alanlara bölmek istediðimizde, komþu çokgenlerin birbirlerine tam oturmasý ve aralarýnda boþluk kalmamasý gerekir. Bunun olabilmesi için birbirine yaslanan komþu çokgen köþelerine ait iç açýlarý toplamý 360 derece olmalýdýr (Þekil 2). Baþka bir ifadeyle bir iç açýnýn tam sayý bir katý 360 derece olmalýdýr. N komþu iç açýlarýn adedini temsil etmek üzere, bu durumda aþaðýdaki denklemi yazabiliriz (N tamsayýdýr):

N (180 - 360 / n ) = 360

Buradan N çözülürse

N = 2n / (n-2)= 2 + 4 / (n-2)

ifadesi elde edilir. Bulmak istediðimiz, hangi kenar sayýsý n için, N deðeri tamsayý olmaktadýr. Tamsayý deðerleri, sadece n=3, 4 ve 6 için elde edebiliriz ve 6'dan büyük hiçbir rakam için tamsayý elde edilemez. Yani bir alaný boþluksuz bölmek istersek, ya üçgen, ya dörtgen veya altýgen kullanmalýyýz. Kenar sayýsý 6'dan fazla olan düzgün bir çokgen ile boþluksuz bölme mümkün deðildir. Benzer þekilde düzgün beþgenler de uygun bir çözüm deðildir. Þekil 3'te üç düzgün beþgenin yan yana getirilmesi ile 36O açýlý boþ bir alan ortaya çýkmýþtýr. Halbuki altýgenler boþluksuz yan yana getirilebilirler (Þekil 4). Ayrýca eþit alanlý üçgen, dörtgen ve altýgen birbiri ile karþýlaþtýrýldýðýnda, en az çizgi uzunluðu altýgende olmaktadýr. Dolayýsý ile en az balmumu sarfiyatý bu þekilde bölme kullanýlarak elde edilebilir.

Matematikçiler ayrýca, kenarlarý doðru olmayan, eðri olan çokgenlerin daha iyi olup olmadýðýný da araþtýrdýlar. Kenar eðri olunca, bir çokgende dýþbükey þekil elde edilirken komþu çokgende ister istemez içbükey þekil elde edilmektedir. Dýþbükey eðri ile elde edilen avantajý (daire parçasýna daha fazla benzemesinden dolayý) içbükey eðriden gelen daha fazla dezavantaj yok etmekte ve net olarak bir kazanç elde edilememektedir. Michigan Üniversitesi’nden Thomas Hales 1999'da tartýþmalara son noktayý koydu ve bir alaný eþit küçük alanlara ayýrmak istediðimizde, en ideal þeklin düzgün altýgen olduðunu ispatladý. Her ne kadar altýgen þeklin, ideal bir þekil olduðu uzun zamandýr belirtilse de, bunun saðlam bir matematik ispatý yapýlamamýþtý. 1999'da ispatýný ancak yapabildiðimiz bir çözümü, arýlarýn milyonlarca yýldýr þaþýrmadan Sevk-i Ýlâhî ile uygulamalarý, Allah'ýn ilhâmýndan baþka ne olabilir ki... Þâyet arýlarýn petek inþa teknikleri ilk yaratýldýklarý dönemden bu yana evrimleþerek gelseydi, fosil kayýtlarýnda, altýgen dýþýnda baþka geometrik þekillere de rastlanmasý gerekirdi. Halbuki baþka bir þekildeki bal peteðinin kullanýldýðýna dâir ipucuna rastlanmamýþtýr. Bizzat Charles Darwin bal peteðini, iþçilik ve balmumunu mükemmel ekonomize eden bir mühendislik harikasý olarak tanýmlamýþtýr.

Þimdiye kadar probleme iki boyutlu baktýk. Ancak bal peteði üç boyutlu bir cisim olup altýgen prizma þeklindedir. Altýgen prizma þeklindeki petekler iki tabaka hâlinde olup, bir uçlarý açýk, diðer kapalý uçlarý ise sýrt sýrta yerleþtirilmiþtir (Þekil 5). Çerçeve yere dik gelecek þekilde yerleþtirildiðinde, prizmalar yatay ile 13O’lik bir eðim açýsý yapacak þekilde inþa edilmiþ olurlar ve bu açý balýn akmamasý için yeterli olan en küçük açýdýr. Acaba peteðin kapalý ucunda en az balmumu sarfiyatý için nasýl bir geometri olmalýdýr? 1964'te matematikçi Fejes Toth, en ideal kapatmanýn iki altýgen ve iki kare ile saðlanabileceðini gösterdi (Þekil 6a). Arýlar ise biraz farklý olarak üç eþkenar dörtgenle kapatma yapmaktaydýlar (Þekil 6b). Eþkenar dörtgenlerin iç açýlarý 70,5O ve 109,5O olup, üç eþkenar dörtgen çatýsý þekli için en ideal matematik çözümü vermektedir. Görünüþte arýlarýn uygulamasýnda iki altýgen ve iki kareye göre alanda % 0,035'lik çok küçük bir kayýp olmaktaydý. Ancak gözden kaçýrýlan bir nokta vardý, o da hesaplamalarda duvar kalýnlýðý son derece ince alýnýyordu.

Araþtýrmacýlar, Toth'un matematik modelini tecrübe etmek üzere sývý hava köpüðü kullandýlar. Ýki cam arasýna, iki tabaka olacak þekilde 2 mm çaplý kabarcýklara sahip deterjan çözeltisi pompaladýlar. Camlarla temas eden kabarcýklar altýgen yapýlara dönüþtü. Ortada iki tabakanýn sýnýrýnda ise Toth'un öne sürdüðü iki altýgen ve iki kare þeklindeki yapý oluþtu. Kabarcýk duvarlarý biraz kalýnlaþtýrýldýðýnda ise, enteresan bir durum ortaya çýktý ve yapý birden arýlarda olduðu gibi üç eþkenar dörtgen yapýsýna dönüþtü. Deney, arýlara en ideal þeklin ilham edildiðini teyit etmekteydi.

Kutlu Beyan’da bal arýsýnýn davranýþlarýna da yer verilmektedir: "Rabb’in bal arýsýna þöyle vahyetti: Daðlardan aðaçlardan ve insanlarýn kurduklarý çardaklardan kendine göz göz ev edin. Sonra da her türlü üründen ye de, Rabb’inin sana yayýlman için belirlediði yollarý tut. Onlarýn karýnlarýndan renkleri çeþit çeþit bir þerbet çýkar ki onda insanlara þifa vardýr. Elbette düþünen kimseler için bunda alacak ibret vardýr." (Nahl, 68, 69).